1 . 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：．

   

2 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

3 . 如图，在矩形中，点、分别在边、上，，连接，．求证：．

4 . 如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．

(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点．若，求证：．
(3)如图3，已知，．若，，求的长．

5 . （1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

6 . 已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长．

7 . 在四边形 中， ，， ， ，， 作 于点 ， 在中， ，，，将按如图 1 放置，此时与 重合，然后将 沿平移至点与点 重合，再改变的位置，如图 3， 将顶点沿 移动至点， 并使点 始终在上．

   

(1)求证： ；
(2)如图， 当线段经过点时， 求 的长；
(3)若点在上运动，交于点．
当 于点时， 求的长；
设 ，请直接用含的式子表示的长，并直接写出长的最小值．

8 . 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：

证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步​
(1)小红的证明过程从第           步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．

9 . 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)连接、，求证四边形为平行四边形．