1 . 【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：．
【应用】如图2，Q是上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是        ．
【拓展】如图3，Q是上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是        ．

​

2 . 如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______________．

3 . 如图1，在菱形中，点P是对角线上一点，连接和，在射线上取点E，使得，射线交射线于点Q，设．

(1)如图2，若，连接，交于点O，求证：；
(2)【探究】如图3，若，，请画出图形，并求的值；
【归纳】若，的值为______．（用含k、α的表达式表示）

4 . 证明，如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)当_____ 时，四边形是矩形．
要求：从下面列出的三个条件中，选一个条件填在横线上，使命题成立．并写出证明过程．
①；②；③

5 . 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)当，时，求的长．

6 . 如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接，，，，，．

(1)求证：；
(2)的最小值为______；
当取得最小值时，求证：．
(3)如图，，，分别是，，的中点，连接，，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

7 . 已知正方形的边长为12，点E由点C开始沿边运动，连接，点G为的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接．过点G作于点M．

   

(1)当点E为中点时，
①依题意补全图形；
②求证：；
③求的度数及点F到直线的距离；
(2)当点E运动到B点时，直接写出的面积．

8 . 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立．

(1)当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：；
(3)在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长．

9 . 如图，点A，E，F，D在一条直线上，，连接，．

(1)证明：；
(2)若平分，那么四边形是什么特殊形状？说明理由．

10 . 如图，是的直径，弦与相交于点E，．

(1)写出图中一对你认为全等的三角形          ；
(2)求证：；
(3)若的半径为4，，求的长．