1 . 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为．

(1)写出线段的长（用含的式子表示）．
(2)当平分菱形面积时，求的值．
(3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

3 . 如图，在四边形中，，．延长到，使，连结．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．

(1)四边形的形状为__________；
(2)当__________时，点运动到的角平分线上；
(3)请用含的代数式表示的面积；
(4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．

4 . 解答

（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．

（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为         ．

（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．

i．如图②，连结，当时，求的面积．

ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．

5 . 教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．
            
(1)若图①中的点G为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)将图①中的绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度．

6 . 如图，在矩形中，，，E为边的中点，点P从点B出发沿射线以每秒6个单位的速度运动，Q为线段的中点，过点P作的垂线，过点Q作的平行线，两线交于点M，设点P运动的时间为t秒（）．

(1)直接写出线段的长；（用含t的代数式表示）
(2)当点M落在边上时，求t的值；
(3)当与矩形重合部分图形为四边形时，求t的取值范围；
(4)连接，作点B关于的对称点，连接，当时，直接写出t的值．

7 . 如图，在长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒（）．
   
(1)当时，______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

8 . 【推理】如图①，在边长为8的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，延长交于点，求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点，若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，交于点，连结，则的最小值是______．

10 . 【问题探究】如图①，在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．
此问题可以过点作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得             ；
【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．