1 . 如图，已知点在直线上，点在异侧，且，．
   
(1)请你添加一个适当的条件：_______，使得．结合所添加的条件证明；
(2)若，，求的长度．

2 . 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（     ）

A．2

B．3

C．4

D．5

3 . 如图，在中，，D是边的中点，交直线于点E，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．

(1)在图1中，过点C作的垂线；
(2)在图2中，过点E作的平行线．

4 . 如图，点，，，在同一条直线上，且，，，若，，则____________．

5 . 如图，在中，，，点D为边上一点，过点A作交延长线于点H，交延长线于点M，若满足，那么的度数为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图所示，直线MN一侧有一个等腰，其中，，直线过顶点C，分别过点A、B作，，垂足分别为点E，F，的平分线交于点O，交于点G，连接，恰好满足，延长，交于点D．

(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间有怎样的数量关系，并说明理由．

7 . 如图，等腰中，，点为直线下方一点，

(1)如图1，若，求证：平分；
(2)如图2，若，平分，过点作的垂线，垂足为点，，．求的长度．

8 . 如图，已知△ABC，点P为BC上一点．

(1)尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于 E，交直线于F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，交于点O，若平分，请在（1）的基础上说明．

9 . 如图，在中，点D在上，．
求证：．

10 . 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为__．