1 . 如图，是菱形的对角线．

   

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：点F在线段的垂直平分线上．
证明：四边形是菱形，
，　　．
在和中，

，
　　．
垂直平分，
　　，
．
点F在线段的垂直平分线上（　　）．

3 . 如图，在中，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，且.(保留作图痕迹，不写作法)

4 . 如图，点是的边上的一定点．

(1)如图1，直线是线段的垂直平分线且交射线于点，求证：．
(2)在图2中，请用无刻度的直尺和圆规，在射线上作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

5 . 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接交边于点E；②以点E为圆心，以的长为半径作弧交边于点F．若，，则的长为__________．

6 . 如图，在中，．

(1)实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作的垂直平分线交于点，交于点；
②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，．
(2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明．

7 . 如图，在中，，，，点为的中点，动点从点出发．沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的边上时，求的值．
(3)当与重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积与之间的关系式．
(4)与的直角边交于点．当垂直平分时，直接写出的值．

9 . 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥

10 . 综合与探究
二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为M．

(1)求该二次函数的表达式，并写出点M的坐标；
(2)如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
(3)如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP的中点Q，连接QC，QM，CM，当的面积为6时，直接写出点P的坐标．