1 . 尺规作图：如图，已知，，为对角线，于点．在线段上求作一点，使得．小亮同学的作法如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，则点即为所求．
   
(1)小亮同学的作图过程用到的基本作图是___________．（填序号）
①作一个角等于已知角；       ②作一个角的平分线；
③作一条线段的垂直平分线；       ④过一点作已知直线的垂线．
(2)请你根据小亮的作法补全图形（保留作图痕迹），完成证明并求出当，时，的长．

5 . “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为．

(1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离．

7 . （1）问题提出：如图1，已知线段，试在线段外确定一点P，使得，画出满足条件的点P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）问题探究：如图2，在矩形中，，且在矩形内部存在一动点P，使得，连接，试求的最小值．
（3）问题解决：如图3，在湿地公园边有一个边长为米的正方形空地，相关部门准备在正方形内靠近海边一侧选一点E作为乐启观光游玩中心，且满足，在中建立一广场雕塑I，使得I到三边的距离相等，为了让人们在欣赏雕塑I后能回到海边或者直接离开广场回家，规划在线段中点M处到点A处铺设一条大理石通道，为了快捷环保和节约成本，是否可以铺成一条满足上述条件的最短的通道，若可以，求出满足要求的通道的最小值，若不可以，请说明理由．

9 . 考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
   
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全，连接，过点A作的切线交的延长线于点E，过点C作，交于点D，连接．
①求证：；
②连接，若为的直径，，求的半径．