1 . 如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是______．

2 . 如图，点分别是的边的中点，连接并延长到点，使，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．

4 . 如图，在中，点分别为的中点，若，则的长为__________．

5 . 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______．

7 . 如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使，连接与交于点O．

   

(1)试说明与互相平分；
(2)若，求的长．

8 . 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：

   

(1)①如图1，，时， ___________；
②如图2，当，时， ___________， __________；
(2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
(3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长．

9 . 综合运用
在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，，请判断的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，请判断的大小，并说明理由．

10 . 如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则______．