1 . 在四边形中，，，，，求证四边形是平行四边形．

   

3 . 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接交于点，连接．

(1)求证：；
(2)已知，若，求的长．

4 . 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（       ）

A．矩形

B．菱形

C．平行四边形

D．正方形

6 . 如图，菱形中的对角线相交于点O，，．求证：四边形是矩形．

7 . 如图，正方形中，点E、F、G分别为边、、上的中点，连接、交于点M，连接、，与交于点N，则结论①；②：③四边形是平行四边形：④中正确的是（       ）

A．①③

B．①④

C．①②③

D．②③④

8 . 如图，在矩形中，平分交于点E，平分交于点F，连接交于点O．
   
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求矩形的面积．

9 . 小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
   
(1)请根据小明的思路完成下列填空
已知：如图1，在中，点是的中点，连接，且．
求证：为直角三角形．
证明：由条件可知，，
则______，．
又∵______，
∴_____．
则为直角三角形．
(2)爱动脑筋的小明又想出了两种不同的证明思路：
证法一：如图2，延长至点，使，连接、．
证法二：如图3，分别取、边的中点、，连接、、，则、、为的中位线．
请你选择其中一种，把证明过程补充完整．

10 . 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．