2 . 模型探究：（1）如图1，在四边形中，，，于点E，若，求四边形的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点E，若，，，求四边形的面积．
   

3 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．

设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 　 　，通风口的最大面积是 　 　（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）

4 . [教材呈现]下面是华师版八年级下册数学教材第104页的部分内容．
如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论．

(1)[问题解决]如图①，、是的两条直径．求证：四边形是矩形．
[发现结论]矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．
(2)[结论应用]如图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为 　 　．
(3)[拓展延伸]如图③，在矩形中，，，点、分别为边、的中点，以线段为对角线构造矩形，矩形的边与矩形的对角线交于、两点，当的长最长时，矩形的面积为 　 　．

8 . 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．

9 . 【探究与应用】
我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则．

(1)如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论；
小明同学提出如下解题思路，请补全：
【思路分析】
由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；
(2)如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______；
(3)如果，，
①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长．
②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围．

10 . 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，顺次连接G、E、H、F．

(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2)若BD＝2AB．
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，时，求四边形GEHF的面积．