2 . 如图，在四边形中，点，分别在边，上．连接，，，．

(1)【实践探究】如图①，四边形是正方形．
（ⅰ）若，，求的余弦值；
（ⅱ）若，求证：是的中点；
(2)【拓展】如图②，四边形是直角梯形，，，，，，求的长．

3 . 【教材回顾】
（1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系?
爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路：
小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系．
小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系．
通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为            ，并请选择一种思路去证明；
【类比探究】
（2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有             （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明．
①；                                     ②；
③四边形的周长为定值；   ④四边形的面积为定值．
【拓展应用】
（3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长                         ．

4 . 如图，是正方形外一点，连接交于点．连接，，且．

(1)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)求证：平分；
(3)如备用图，过点作于点，分别交，于点，，连接，若．求的值．

6 . 已知菱形，．

(1)如图1，，点E在边上，点F在边上，，求证：；
(2)如图2，，点F在边上，点E在边上，，过点F作交的延长线于点N，连接，过点N作交直线于点H，求证：点F为的中点；
(3)如图3，，点E为边的中点，点F在边上，，直接写出的值______．

8 . 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形都是正方形．
（1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若，，，则__________；
（3）连接，如图3，则与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．