1 . 综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段
同侧有两点
，
，连接
，
，
，
，如果
，那么
，，
，四点在同一个圆上．
探究展示：
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在
中，
，
，将
绕点逆时针旋转得
，连接
交
于点，连接
、．小明发现，在旋转过程中，
永远等于
，不会发生改变．
①根据
，利用四点共圆的思想，试证明
；
②在（1）的条件下，当
为直角三角形，且
时，直接写出的长．
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段
同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：
如图2，作经过点，，的 ，在劣弧上取一点 （不与，重合），连接 ， ，则  又∵ ，∴__________， ∴点 ，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点 ，在点，，所确定的上∴点 ，，，四点在同一个圆上． |
【拓展延伸】（2）如图3，在
中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．①根据
，利用四点共圆的思想，试证明；②在（1）的条件下，当
为直角三角形，且时，直接写出的长．
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2024-05-01更新
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298次组卷
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2卷引用：2024年广西壮族自治区柳州市初中学业水平考试模拟试卷数学模拟试题
2 . 如图，⊙
是的外接圆，是的直径，点P在上，若
，则
的度数是（ ）
是的外接圆，是的直径，点P在上，若，则的度数是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-04-23更新
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138次组卷
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2卷引用：2024年广西南宁地区九年级下学期一模数学试题
2023·吉林四平·一模
3 . 如图，已知为的直径，
，则
等于（ ）
为的直径，，则等于（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-04-18更新
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123次组卷
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3卷引用：2024年广西壮族自治区河池市南丹县中考数学一模模拟试题
4 . 如图，A、P、B、C在圆上，
，连接、、．的形状，并证明你的结论；
(2)若
，
，求圆的半径．
，连接、、．
的形状，并证明你的结论；(2)若
，，求圆的半径．
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5 . 如图，在中，弦
相交于点
，连接
．若
，则
的大小为（ ）
中，弦相交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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6 . 如图，内接于，CD是的直径，
，则的度数为（ ）
内接于，CD是的直径，，则的度数为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
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2024-03-19更新
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104次组卷
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2卷引用：2024年广西壮族自治区部分学校中考模拟(一模)考试数学试题
7 . 如图，是的直径，C、D是上的点，若
，则
等于（ ）
是的直径，C、D是上的点，若，则等于（ ）A． | B． | C． | D． |
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8 . 如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若
，
，则
______ ．
是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则
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9 . 如图，在中，是的直径，
，弦
，则
（ ）
中，是的直径，，弦，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-02-28更新
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180次组卷
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4卷引用：2023年广西桂林市灵川县中考数学二模试题
2023年广西桂林市灵川县中考数学二模试题广东省中山市卓雅学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学开学试题广东省韶关市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（已下线）专题09 圆2（1大易错点分析 26个易错点 易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）
10 . 如图，为的直径，点C在上．上作点D，使得线段
，且线段与相交；
(2)在（1）的条件下，与相交于点P，若
，求
的度数．
为的直径，点C在上．
上作点D，使得线段，且线段与相交；(2)在（1）的条件下，
与相交于点P，若，求 的度数．
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2024-01-22更新
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85次组卷
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2卷引用：2023年广西北海市合浦县九年级中考数学三模试题
