1 . 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．

【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．

2 . （1）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点在直线上，，交直线于点．请直接写出线段的长．

4 . 【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．

【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．

5 . 综合与实践
问题情景：
如图，矩形中，，，点、点分别是和的中点，连接，将绕点顺时针旋转（），连接，，延长交于点．

猜想证明：
(1)如图，当四边形是矩形时，求旋转角的正切值；
(2)当旋转到图的情况时，探究，，的数量关系；
拓展应用：
(3)在（）的条件下，旋转的过程中，若，请直接写出的长度．

6 . （1）问题发现：如图1，在和中，，，连接，填空：        ；        ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，填空：        ．

7 . 小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．

   

(1)【探究发现】如图1，
①与的大小关系：______；
②与的大小和位置关系：______．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______；
②在旋转过程中，的最大值是______．

9 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
已知边框，设为a，窗子的高度h（窗子的最高点到边框的距离）．
【初步探究】
（1）若，．
①与之间的距离为，求此时的面积．
②与之间的距离为x，试将通风口的面积y表示成关于x的函数．
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是        ，通风口的最大面积是        （用含a，h的代数式表示）

10 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

   

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．