2 . 综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．

   

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．

   

(1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积；
(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

4 . 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：

(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．

8 . 【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．
（1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）
【类比探究】
（2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小；
（4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案．