2 . 如图1，四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接、和，且，，．

(1)【初步探究】求证：四边形是菱形；
(2)【拓展延伸】如图2，连接交于点，延长交于点，求证：；
(3)【实践应用】我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注．如图3所示的一块正方形种植区被、、分割种植着不同植物，经测量得，．现学校决定延长交于点，以为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积．

3 . 综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．

   【观察发现】

(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．

①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．

4 . 综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点．
操作与计算
（）如图，当时，求的长．
深度思考
（）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
拓展探究
（）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积．

6 . 如图1，在矩形中，，点是对角线上的一动点．

【初步探究】
（1）下表是某探究小组得出的正确结果：（部分数据被遮挡）

已知
			2

表中被遮挡的数据　　　，　　　，　　　；
【探究运用】
（2）当时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图2，的外接圆交于点，交于点，交于点，若，当时，直接写出此时的长．

7 . 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为           ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．

8 . 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）四边形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化简整理得______．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．

【拓展应用】
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

10 . 已知，，．
   
(1)【操作发现】如图1，将的顶点放在的边上（不与，重合），绕点任意旋转，使交边于点，交边于点，通过探究发现总有，请你写出证明过程；
(2)【类比学习】如图2，将的顶点放在的边的延长线上，交边于点，交的延长线于点，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)【拓展延伸】将图2中的绕点逆时针旋转，使经过点，如图3，若，，，直接写出的长．