2 . 【提出问题】
如图①，在中，，点三点都在直线上，若，猜想之间的数量关系______（直接写出结论）
【类比探究】
如图②，若图①中的三个角变成任意角，其余条件不变，即，①中的结论是否成立，说明理由．
【拓展延伸】
如图③，若，且为等边三角形，求证：为等边三角形．
【学以致用】
数学兴趣小组的同学在学完相似三角形的相关知识后发现，可以类比上述思路解决与相似有关的问题，请你和他们一起完成下列问题吧．
如图④，在平行四边形中，，点是边上一点，过点作，交边于点，且，求的值．

3 . （综合与实践
【问题情境】
为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形的纸片，E，F分别是线段和的中点，如图1．

【探究实践】
老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段和的垂线，两垂线交于点G，连接．
老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？
经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现．

（1）如图2，大刚发现：“当图形满足时，．”
（2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件时，．”
老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由．
【拓展应用】
（3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若所在的直线互相垂直，且，就能求出的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出的值．

4 . 课本再现：
(1)如图1， 是的一个外角，写出与，的数量关系        
类比探究：
(2)如图2，是与的公共边，，．
①与的数量关系是         ；
②求证
拓展应用：
(3)如图3，点D是正方形内一点，且在以O 为圆心， 为半径的圆弧上，若，，直接写出线段的长.

   

6 . 【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．

7 . 综合与实践
问题情境
在中，，点O是的中点，D为内一点，连接，将线段绕着点O旋转得到，连接．
探究证明
（1）如图1，延长交于点E，若．求证：；
（2）如图2，连接，交的延长线于点G，连接，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
拓展提升
（3）如图3，在（2）的条件下，与交于点H，若，，，请求出的长度（直接写出答案）．

8 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．

（1）【观察发现】
①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】
如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．