1 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

   

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．

2 . 综合与实践

探究主题	直角三角板与圆
探究背景	学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如下图），具体研究如下：
探究 任务1	找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：____________．
探究 任务2	用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为．如图2，若，则，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接 又 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：__________．
探究 任务3	当直角顶点运动到圆内时如图4，直角并反向延长两边交圆于两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：_________（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：
探究 任务4	各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题： 如图，若弦，求圆的直径． 你的解答是：

3 . 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．
阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点重合，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．

观察发现：
（1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是________；位置关系是     ；
探索猜想：
（2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
（3）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．

4 . 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由．
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______．（直接写出答案不必说明理由）

5 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)问题背景
如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，____________；
如图，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则____________；
(2)探究迁移
如图，在（）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图，在（）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．

6 . 问题提出
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．求证：；
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，E，F分别是边和对角线的点，，，求的长；
拓展延伸
（3）如图3，在菱形中，交的延长线于点G．E，F分别是线段和上的点，，，求的长．

7 . （1）如图1，正方形中，E，F分别是边和对角线上的点，，求证：；
【思考探究】（2）如图2，矩形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，，，连接并延长，交边于G，交于H，求和的长；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形中，对角线与相交于点O，，，点F在线段上，点P在的延长线上，并且，，求的长．

8 . 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．

   

(1)问题解决：①写出与的数量关系：________；
② 的值为 ________；
(2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求 的值．