2 . 【问题发现】

（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点H，求与的数量关系和位置关系．
【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
【拓展延伸】（3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，，，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．

3 . 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

   

【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．

4 . 已知在矩形中，，是边，上的点，过点作的垂线交边于点．
[发现]如图1，以为直径作，点　　（填“在”或“不在” 上；当时，的值是　　；
[论证]如图1，当时，求证：；

[探究]如图2，当，是边，的中点时，若，，求的长；
[拓展]如图3，将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，，是边上的动点，过点在的右侧作的垂线，且有，当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长．

5 . 在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到．

(1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________；
(2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．

6 . （1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线于点F．请直接写出线段的长．

9 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……．

问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为______；
②如图3，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．