1 . 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：     ．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接．
①如图2， 当点M在上时， 求的度数．
②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长．
(3)拓展应用
如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长．

2 . 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

   

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．

3 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．

5 . 综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

9 . 如图1，已知在中，．

(1)基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是      ；
(2)拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到．
①求证：；
②用等式表示与间的数量关系，并说明理由：
(3)问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长．

10 . 和的顶点重合，，，，．

　　　　　　　　　

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________．
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，点在的外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值．