1 . （1）证明推断：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，求证：；
（2）类比探究：如图2，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

3 . 【问题初探】
（1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，，连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．

   

【深入探究】
（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展迁移】
（3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中，
①线段与的数量关系为：__________；
②若，，当点F在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________．

4 . 如图Ⅰ，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，．
【观察猜想】
（1）将图Ⅰ中的，绕点A逆时针旋转，连接，，且的延长线交于点，得到图Ⅱ．若的延长线恰好经过点（即点，重合），直接写出与间的数量关系；
【类比探究】
（2）继续旋转图Ⅱ中的，连接，，且的延长线交于点（此时点，不重合），得到图Ⅲ．
①（1）中的结论是否改变？若不变，请证明；若改变，写出新的结论并证明；
②求的度数；
【拓展延伸】
（3）若，，在旋转过程中，当所在的直线垂直于时，求线段的长．

5 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，E分别在线段，上，且．

(1)观察猜想小华将绕点A逆时针旋转，连接，，如图②，当点E与点F重合时：
①的值为______；
②的度数为______度；
(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸：若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．

6 . （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，常数．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．

7 . 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：

在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形．

(2)迁移探究：

如图，若，且，求正方形的边长．

(3)拓展应用：

如图，若，直接写出的值为______．

8 . （1）【感知】如图1，在等边三角形的外角内引射线，作点关于的对称点点在 内，连接，、分别交于点、．求的度数．
   
（2）【类比探究】如图2，把（1）中的“等边三角形”改为“等腰直角三角形，其余条件不变．
   
①________；
②猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】如图3，点为射线上的点，且，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交 于点、，当点为的重心时，求线段的长．
   

9 . 【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．

【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．

10 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
已知边框，设为a，窗子的高度h（窗子的最高点到边框的距离）．
【初步探究】
（1）若，．
①与之间的距离为，求此时的面积．
②与之间的距离为x，试将通风口的面积y表示成关于x的函数．
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是        ，通风口的最大面积是        （用含a，h的代数式表示）