3 . 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．

(2)特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）

(3)拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．

4 . 【问题情境】

(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
(2)如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
(3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．

5 . 课本再现
如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．
   
（1）与的数量关系是 　　，与构成的锐角夹角的度数是 　　；
深入探究
（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）
迁移应用
（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值．

6 . 如图，四边形是正方形．

(1)问题解决：如图①，若，分别是，上的点，且．求证：；
(2)类比探究：如图②，若点，，，分别在，，，上，且，求证：F．
(3)迁移应用：如图③，在中，，，点是的中点，点是上一点，且，求：的值．

7 . 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N；
（乙）过点A作AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
…
   
(1)对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；
(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(3)如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度．

8 . 【探究规律】我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．
例如：如图1，两直线，两点H，T在m上，于E，于F，则．
（1）如图2，已知直线，A、B为直线n上的两点，C，P为直线m上的两点．
请写出图中面积相等的各对三角形：______________________．
   
【解决问题】：
（2）如图3，在平面直角坐标系中，点D在y轴上，点B在x轴上，点C的坐标是，，平分，平分，分别交，，y轴于点E，F，G．
①求证：；
②若点D，G，B的坐标分别是，，，求点E，F的坐标．
   

10 . 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上．

（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；
（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．