1 . 【初建模型】（1）如图①，
和
都是等腰三角形，
，
，连接
．求证：
．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明
和
全等即可．
①
②
③
④
【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，
，连接．请你写出
与
的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交
于点F，交的延长线于点G，求
的值．
和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明和全等即可．①
② ③ ④【类比探究】（2）如图②，
和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由．【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长
，交于点F，交的延长线于点G，求的值．
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2 . 操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当
=
时，求sin∠CFP的值．
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当
=时，求sin∠CFP的值．
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3 . 已知，矩形
中，点F在
上，连接
交于点E．
(1)若
于点E，如图1．
①证明：
；
②若
，求
的度数；
(2)若
，点F是的中点，连接
，如图2，求
的值．
中，点F在上，连接交于点E．(1)若
于点E，如图1．①证明：
；②若
，求的度数；(2)若
，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
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2022-12-16更新
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159次组卷
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3卷引用：江苏省泰州市兴化市西南片学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
4 . 如图，抛物线
与x轴交于
，
，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点
是第一象限内抛物线上的一个动点，连接
，
，
，试求四边形
面积的最大值；
(3)如图2，点
是第一象限内抛物线上的一点，连接
，
，点
是线段
上的任意一点（不与点
，
重合），过点分别作
交于点
，
交于点N．
①判断四边形
的形状，并证明你的结论；
②四边形是否能成为正方形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
与x轴交于，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点
是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，，，试求四边形面积的最大值；(3)如图2，点
是第一象限内抛物线上的一点，连接，，点是线段上的任意一点（不与点，重合），过点分别作交于点，交于点N．①判断四边形
的形状，并证明你的结论；②四边形
是否能成为正方形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
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5 . 如图，已知，
，
，
，过A作y轴的垂线交反比例函数
的图象于点D，连接，
．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求
的值．
，，，过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D，连接，．(1)证明：四边形
为菱形；(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求
的值．
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2023-01-06更新
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200次组卷
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3卷引用：广东省茂名市茂南区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
6 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB．
(1)证明：△PAD∽△DAB；
(2)求∠ADP的正弦值．
(1)证明：△PAD∽△DAB；
(2)求∠ADP的正弦值．
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2022-03-28更新
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68次组卷
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2卷引用：安徽省亳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
名校
7 . 已知，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，且∠CEF=∠CAB，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC=60°时，请直接写出
的值；
（2）如图2，当∠BAC=90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，若AB=13，BC=10，点E在线段AD上运动，当AE的值为 时，
的值最小，最小值是
（1）如图1，当∠BAC=60°时，请直接写出
的值；（2）如图2，当∠BAC=90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，若AB=13，BC=10，点E在线段AD上运动，当AE的值为 时，
的值最小，最小值是
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8 . 如图，
是
的直径，C为下方半圆上一动点，
交
于点D．
(1)求证：
；
(2)已知半径为r，设
，求x与y的关系式；
(3)点P为上方圆外一点，且
，连结
，
交上半圆于点E，已知当
时
，
，求
的值．
是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D．(1)求证：
；(2)已知
半径为r，设，求x与y的关系式；(3)点P为
上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值．
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9 . 如图，射线
在第一象限内，射线
在第二象限内，
，射线与函数
交于点A，射线与函数
交于点B，连接，根据下列条件解答问题：
(1)如图，过点A作
轴于点D，过点B作
轴于点C，求证：
；
(2)如果点A的坐标是
，求点B的坐标；
(3)当
在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，
的度数是否保持不变？如果不变，求
的值？如果变化，请说明理由．
在第一象限内，射线在第二象限内，，射线与函数交于点A，射线与函数交于点B，连接，根据下列条件解答问题：(1)如图，过点A作
轴于点D，过点B作轴于点C，求证：；(2)如果点A的坐标是
，求点B的坐标；(3)当
在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，的度数是否保持不变？如果不变，求的值？如果变化，请说明理由．
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10 . 如图，已知是矩形的对角线，
，
交
延长线于，
交
于
，交于
.
(1)求证：点是
的重心；
(2)如果
，求
的正弦值.
是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于.(1)求证：点
是的重心；(2)如果
，求的正弦值.
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