1 . 已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为______．

2 . 已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则_________

3 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．

4 . 已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是____________；
（2）当取得最大值时，____________

6 . 已知三角形ABC中，是的重心，P是内部（不含边界）的动点，若（），则的取值范围________.

7 . 已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.

8 . 正方体的边长为1，点分别为边的中点，是侧面上动点，若直线与面的交点位于内（包括边界），则所有满足要求的点构成的图形面积为__________.

9 . 已知向量，的夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为_________.

10 . 已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则的取值范围是___________.