2024高三·上海·专题练习
解题方法
1 . 设函数
在
上有定义，实数
，
满足
．若在区间
上不存在最小值，则称在区间上具有性质
．
(1)若函数
，且在区间
上具有性质时，求常数
的取值范围；
(2)已知
，且当
时，
，判别在区间
上是否具有性质，并说明理由；
(3)若对于的任意实数和；函数在区间上具有性质，且对于任意
，当
时，有：
，证明：当
时，
．
在上有定义，实数，满足．若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质．(1)若函数
，且在区间上具有性质时，求常数的取值范围；(2)已知
，且当时，，判别在区间上是否具有性质，并说明理由；(3)若对于
的任意实数和；函数在区间上具有性质，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．
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2 . 已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知在
上单调递增，求a的取值范围．
．(1)若
，求不等式的解集；(2)已知
在上单调递增，求a的取值范围．
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2024高三·全国·专题练习
3 . 已知函数
，记
是
在区间
上的最大值．
(1)当
且
时，求的值；
(2)若
，证明
．
，记是在区间上的最大值．(1)当
且时，求的值；(2)若
，证明．
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名校
4 . 三角函数的定义是：在单位圆C：
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为
，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积
．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：
中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是
，双曲角
，则P的坐标是
．其中，
称为双曲余弦函数，
称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数
双曲余切函数
且有如下关系式：
，
,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；
②
；
（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；
②若对
，关于x的方程
有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为
，写出
的级数展开式．
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，
,的初等函数表达式．（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；②
；（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；②若对
，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为，写出的级数展开式．
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5 . 已知函数
(1)若函数
在区间
上的最小值为
，求实数
的值；
(2)若函数
在其定义域内存在实数
满足
，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在
上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
(1)若函数
在区间上的最小值为，求实数的值；(2)若函数
在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
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解题方法
6 . 已知函数
．
(1)若在
上为增函数，求的取值范围；
(2)若函数
在
上恰有两个零点，求的取值范围．
．(1)若
在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数
在上恰有两个零点，求的取值范围．
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7 . 已知幂函数
的图象与坐标轴无交点.
(1)求
的解析式；
(2)解不等式
.
的图象与坐标轴无交点.(1)求
的解析式；(2)解不等式
.
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8 . 已知函数
为幂函数，且在
上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若函数
，判断函数
在上的单调性，并证明.
为幂函数，且在上单调递减.(1)求实数
的值；(2)若函数
，判断函数在上的单调性，并证明.
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2024高一·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知二次函数
的图象过点
，且不等式
的解集为
.
(1)求的解析式；
(2)设
，若
在
上是单调函数，求实数的取值范围.
的图象过点，且不等式的解集为.(1)求
的解析式；(2)设
，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
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解题方法
10 . 已知函数
.
(1)若
，解不等式
；
(2)若关于的方程
有解，求的取值范围.
.(1)若
，解不等式；(2)若关于
的方程有解，求的取值范围.
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