1 . 已知函数．
(1)求证函数为奇函数；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；
(3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值.

2 . 定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．
(1)求证：对于任意正实数、，；
(2)证明：在上是单调减函数；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

3 . 已知函数.
(1)求证：函数是上的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知集合为非空数集，定义.
(1)若集合，请证明，并直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合，且，求证：.

5 . 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)定义证明函数在上是增函数；
(3)写出函数在上的单调性（结论不要求证明）.

6 . 问题：已知均为正实数，且，求证：．
证明：
，
当且仅当时，等号成立．
学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)利用（1）的结论，求的最小值．

7 . 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.

8 . 对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.

9 . 证明：
(1)若，求证：；
(2)若，求证：.

10 . 已知函数，
(1)已知为单调递增函数，请判断的单调性，并用单调性定义证明；
(2)若，求证：方程在区间上有且仅有一个实数解.