名校
解题方法
1 . （1）已知
，
为正实数．求证：
；
（2）某题字迹有污损，内容是“已知
，
，用分析法证明
”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．
，为正实数．求证：；（2）某题字迹有污损，内容是“已知
，，用分析法证明”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．
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名校
2 . 已知
，
（1）若
，求证：函数
恰有一个负零点.（用图像证明不给分）
（2）若函数
恰有三个零点，求实数
的取值范围.
，（1）若
，求证：函数恰有一个负零点.（用图像证明不给分）（2）若函数
恰有三个零点，求实数的取值范围.
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名校
3 . 完成下列证明：
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
，求证：
.
（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，求证：.
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2019-09-12更新
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1137次组卷
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3卷引用：江西省吉安市2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题
名校
4 . 已知定义在
上的函数
满足：对任意
都有
.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）如果当
时，有
，试判断在上的单调性，并用定义证明你的判断；
（3）在（2）的条件下，若
对满足不等式
的任意
恒成立，求的取值范围.
上的函数满足：对任意都有.（1）求证：函数
是奇函数；（2）如果当
时，有，试判断在上的单调性，并用定义证明你的判断；（3）在（2）的条件下，若
对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.
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2019-10-26更新
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689次组卷
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3卷引用：江西省抚州市南城县第二中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题
名校
5 . 已知定义在
上的函数
满足以下三个条件：
①对任意实数
，都有
；
②
；
③在区间
上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：
；
（3）解不等式
．
上的函数满足以下三个条件：①对任意实数
，都有；②
；③
在区间上为增函数．（1）判断函数
的奇偶性，并加以证明；（2）求证：
；（3）解不等式
．
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2019-12-01更新
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958次组卷
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3卷引用：江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
6 . 定义在
上的函数
满足：对任意的
，都有
成立，且当
时，
．
(1)求证：在上是单调递增函数
(2)解关于的不等式：
(3)已知
，若
对所有的
及
恒成立，求实数
的取值范围．
上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．(1)求证：
在上是单调递增函数(2)解关于
的不等式：(3)已知
，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
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名校
7 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集．记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
．
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若n为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
．
，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若n为偶数且
，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：．
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2024-03-12更新
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727次组卷
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3卷引用：江西省贵溪市实验中学2024届高三下学期5月高考冲刺压轴卷（一）数学试卷
名校
解题方法
8 . 对于定义域在
上的函数
，定义
．设区间
，对于区间
上的任意给定的两个自变量的值
、
，当
时，总有
，则称
是的“
函数”．
(1)判断函数
是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数
是奇函数，求证：
存在“函数”的充要条件是存在常数
，使得
；
(3)若函数
与函数
的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．
上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．(1)判断函数
是否存在“函数”，请说明理由；(2)若非常值函数
是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；(3)若函数
与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．
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2023-12-19更新
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592次组卷
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7卷引用：江西省上饶市婺源天佑中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
江西省上饶市婺源天佑中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题上海市东华大学附属奉贤致远中学2023-2024学年高一上学期12月教学评估数学试题上海市奉贤区2022-2023学年高一上学期1月期末练习数学试题（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）单元高难问题03函数恒成立问题和存在性问题-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）（已下线）专题14函数的基本性质-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）【巩固卷】期末复习B 单元测试B-沪教版（2020）必修一
名校
9 . 对于函数，若
，则称
为的“不动点”，若
，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
，即
，
，那么，
(1)求函数
的“稳定点”；
(2)求证：
；
(3)若
，且
，求实数的取值范围．
，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，(1)求函数
的“稳定点”；(2)求证：
；(3)若
，且，求实数的取值范围．
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名校
解题方法
10 . 由倍角公式
，可知
可以表示为
的二次多项式．对于
，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求
的值；
(2)化简
；并利用此结果求
的值；
(3)已知方程
在
上有三个根，记为
，求证：
.
，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有可见
也可以表示成的三次多项式．(1)利用上述结论，求
的值；(2)化简
；并利用此结果求的值；(3)已知方程
在上有三个根，记为，求证：.
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2024-04-11更新
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1382次组卷
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8卷引用：江西省南昌市第五高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江西省南昌市第五高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷江苏省泰州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）模块三专题2 新定义专练【高一下人教B版】（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)（已下线）作业02 三角恒等变换-【暑假分层作业】（苏教版2019必修第二册）（已下线）4.2 诱导公式与恒等变化（已下线）拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题（十大题型）江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题
