1 . 如图，沈阳东塔桥是沈阳唯一一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．

       

(1)证明：；
(2)当时，求的最小值；
(3)设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小．

2 . 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

3 . 函数的部分图像如图所示.
   
(1)求的解析式；
(2)若，恒成立，求的取值范围；
(3)求实数和正整数，使得函数在上恰有2023个零点.

4 . 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
注：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

5 . 已知函数，．
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；
(2)对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

6 . 已知函数（a＞0，且）在上的最大值与最小值之和为20，记.
(1)求a的值；
(2)求证：为定值；
(3)求的值.

7 . 设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.

8 . 已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(2)设函数，若，，，求a的取值范围．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.

   

(1)求的值；
(2)求的值.

10 . 已知函数．
(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有2个不同实数解，求实数k的取值范围．