1 . （1）已知，求证：；
（2）求证：．

3 . 已知，，，求下列代数式的最小值
(1)；
(2).

4 . （1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）函数 的最小值为？
（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．

5 . 当时，求函数最小值.

6 . 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.

7 . 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值.
提示：基本不等式，
(1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，求函数的最小值.

8 . （1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．

9 . 解答下列各题.
(1)若，求的最小值；
(2)已知，，且，求的最小值.

10 . 学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换．
(1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件；
(2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值．