1 . 已知，求的最小值．

2 . 若正数满足.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.

3 . 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）．

(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为）
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？

4 . 已知正数a，b满足2a+b＝1，
(1)求ab的最大值.
(2)求的最小值.

5 . 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数关系式为（，且）
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

6 . 杭州第19届亚运会（The19thAsianGames）又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本次亚运会共有45个国家（地区）12500余名运动员参加，赛事分6个赛区40多个场馆进行.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米隔热层的建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）．当隔热层的厚度为5厘米时，等于2万元．已知15年的总维修费用为20万元，记为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）．
(1)求常数k；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用最小，并求出最小值．

7 . （1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值．

8 . （1）已知，，比较，的大小并说明原因；
（2）已知，，且，求的最小值．

9 . 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设．

(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？