1 . 定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.

2 . 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．

3 . 设函数是定义在的偶函数，且当时，，将函数中和两部分的表达式相加得到函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)讨论函数在定义域内的单调性，并证明.

4 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数，
（ⅰ）求图象的对称中心；
（ⅱ）求的值．

5 . 已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)当时，求不等式的解集．

6 . 函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.

(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)设是定义域为的奇函数，当时，，画出的图像，并根据图象写出的单调区间及零点.

7 . 已知函数．
(1)若，求与值；
(2)由（1）的计算结果猜想函数在时满足什么性质，并证明你的猜想；
(3)证明：在区间上单调递增，在区间上单调递减．

8 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)请任选函数两个单调区间中的一个，证明上述结论；
(2)利用上述性质或用其它方法解决下列问题：
①若，函数的值域为，求实数a的值；
②若关于x的方程在上有解，求实数b的取值范围.

9 . 设（为实常数），与的图像关于原点对称.
(1)若函数为奇函数，求值；
(2)当，若关于x的方程有两个不等实根，求的范围；
(3)当，求方程的实数根的个数，并加以证明.

10 . 已知函数．
(1)判断函数在其定义域上的单调性（不需要证明）﹔
(2)对任意的，都有，若存在的两个取值，使得为常数），求的值．