1 . 已知数列的前项和为，．
(1)求的值；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．

2 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．

3 . 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．

4 . 已知数列满足，，设，其中.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明：.

5 . 设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和，并证明.

6 . 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
(1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
(2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
(3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.

7 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

8 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

9 . 设{a_n}是首项为1的等比数列，数列{b_n}满足b_n＝，已知a₁，3a₂，9a₃成等差数列．
(1)求{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)记S_n和T_n分别为{a_n}和{b_n}的前n项和．证明：T_n＜．
(3)求证：

10 . 已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.