1 . 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在三个零点，分别记为.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.

2 . 已知函数，.
（1）若恰为的极小值点.
①证明：；
②求在区间上的零点个数；
（2）若，，又由泰勒级数知：，证明：

3 . 已知函数，为自然对数的底数.
（1）若过点的切线斜率为2，求实数a的值；
（2）当时，求证：；
（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.

5 . 已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为．
（i）若EF的中点为，求直线EF的方程；
（ii）若，证明：直线EF过定点．

6 . 椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：．

7 . 已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值；
②证明：.

8 . 已知函数.
（1）当时，设函数的最小值为，证明：；
（2）若函数有两个极值点，，证明：.

9 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为

（1）求椭圆的方程
（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标

10 . 设函数，，其中，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且方程在，上有两个不相等的实数根，，求证.