1 . 已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为．
（i）若EF的中点为，求直线EF的方程；
（ii）若，证明：直线EF过定点．

2 . （1）函数的导数为，求；
（2）设是函数图象的一条切线，证明：与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．

3 . 已知函数.
（1）当时，设函数的最小值为，证明：；
（2）若函数有两个极值点，，证明：.

4 . 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.

5 . 已知，其中a∈R．
（1）讨论f(x)的极值点的个数；
（2）当n∈N^*时，证明：．

6 . 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.

7 . 已知函数.
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个零点、，且.证明：
（i）；
（ii）.

8 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

9 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，求证：.

10 . 已知自变量为的函数的极大值点为，，为自然对数的底数.
（1）若，证明：有且仅有2个零点；
（2）若，，，…，为任意正实数，证明：.