1 . 已知函数,在处的切线方程为.
(1)求的值
(2)当且时,求证:.

2 . 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

3 . 已知是圆上任意一点，过作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段中点的轨迹为曲线（包括点和点），为坐标原点.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相切，且与圆相交于两点，当的面积最大时，试求直线的方程.

4 . 已知点为抛物线：的焦点，点为抛物线上一定点．
(1)直线过点交抛物线于、两点，若，求直线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值．

5 . 已知双曲线的渐近线方程为，右焦点坐标为，为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点和，且，试求实数的取值范围．

6 . 已知函数.
(1)若函数与在处有相同的切线，求的值；
(2)若函数在定义域内不单调，求的取值范围.
(3)若，恒有成立，求实数的最大值.

7 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.
①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

8 . 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．
（1）求直线的方程；
（2）求椭圆的方程．

9 . 已知中心在原点的椭圆，右焦点，且过．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

10 . 已知点是椭圆：上的一点，椭圆的右焦点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．