1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.

2 . 已知椭圆的焦距为是椭圆上的点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

3 . 已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.

4 . 已知椭圆的焦距为4，是椭圆上的点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，，是椭圆上不关于坐标轴对称的两点（即且），若，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

5 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

6 . 已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求的单调区间；
(2)若，证明：当时，．

7 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.

9 . 如图，已知椭圆长轴长为4，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点为椭圆C上一点，设是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线与直线相交于点M，记的斜率分别为，求证：．

10 . 已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．