1 . 如图，已知斜三棱柱中，底面是正三角形，，点O是点A₁在下底面内的正投影.

(1)求证：
(2)若点O是的中心，求高度A₁O；
(3)在（2）的条件下求二面角的余弦值.

2 . 如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．

(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．

3 . 如图，在三棱锥中，，，点D为BC的中点，点E在线段AC上，且．

(1)求证：平面；
(2)若，且，求二面角A－PD－E的余弦值．

4 . 已知四棱锥中，底面，，，，，点为的中点．
(1)求证：．
(2)试判断在侧棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，已知在多面体ABCDEF中，，，平面，平面，

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.

6 . 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

7 . 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.

(1)求证：；
(2)若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.

8 . 如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面底面，点为中点，点为的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
(3)过作与垂直的平面，交直线于点，求的长度．

9 . 已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．

   

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离．

10 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.
   
(1)若，求证：平面；
(2)若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.