2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知椭圆
的长轴为双曲线
的实轴，且经过点
．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)已知椭圆
在其上一点
处的切线方程为
．过椭圆的左焦点
作直线
与椭圆相交于
两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点
．求证：
．
的长轴为双曲线的实轴，且经过点．(1)求椭圆
的标准方程．(2)已知椭圆
在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．
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解题方法
2 . 如图，已知四棱锥
的底面为菱形，且
，
，
，M是棱PD上的点，且PB与平面MAC平行．
(1)求证：
；
(2)若Q为棱PC上的动点，求MQ与平面PBC所成角的余弦值的最小值．
的底面为菱形，且，，，M是棱PD上的点，且PB与平面MAC平行． (1)求证：
；(2)若Q为棱PC上的动点，求MQ与平面PBC所成角的余弦值的最小值．
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3 . 如图，在四棱锥
中，平面
平面
，四边形
是边长为2的正方形，四棱锥的体积为
．
(1)求证：
为等腰三角形；
(2)若
，求二面角
的余弦值．
中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，四棱锥的体积为． (1)求证：
为等腰三角形；(2)若
，求二面角的余弦值．
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名校
解题方法
4 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点
在
轴上，点
在上，长轴长与短轴长之比为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)设
为的下顶点，过点
且斜率为
的直线与相交于
两点，且点
在线段
上．若点在线段
上，
，证明：
．
的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．(1)求椭圆
的方程．(2)设
为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．
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解题方法
5 . 在平面直角坐标系中，是双曲线
位于第二象限左支上一动点，过点作直线交
轴正半轴于点，交双曲线右支于
，再过点作直线交双曲线右支于，总有
，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，直线的斜率为
，且
．当
三点共线时．求证：
(1)
为常数；
(2)为定点，并求其坐标．
是双曲线位于第二象限左支上一动点，过点作直线交轴正半轴于点，交双曲线右支于，再过点作直线交双曲线右支于，总有，记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，且．当三点共线时．求证：(1)
为常数；(2)
为定点，并求其坐标．
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解题方法
6 . 如图，在四棱锥中，
平面
.
平面
；
(2)若点为
的中点，线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
中，平面.
平面；(2)若点
为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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7 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，
，
．
；
(2)若点为
的中点，与
相交于点，直线
与底面所成的角为
，且
，求二面角
的余弦值．
中，底面是边长为2的菱形，，．
；(2)若点
为的中点，与相交于点，直线与底面所成的角为，且，求二面角的余弦值．
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解题方法
8 . 如图，在四棱锥中，
，
，E是PD的中点，F，M分别在PC，PB上，且
，
．
(2)若
，平面ABCD，且
，求平面AEF与平面PBC所成二面角的大小．
中，，，E是PD的中点，F，M分别在PC，PB上，且，．
(2)若
，平面ABCD，且，求平面AEF与平面PBC所成二面角的大小．
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解题方法
9 . 在平面直角坐标系
中，已知是轴上的动点，
是平面内的动点，线段
的垂直平分线交轴于点
，交于点
，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点
的直线与曲线交于
两点，直线
与直线
分别交于点
，设线段的中点为
，求证：点在曲线上．
中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程(2)过点
的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．
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10 . 已知在三棱柱
中，
平面
，
，
为正三角形，点为的中点，点
为
的中点.
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，平面，，为正三角形，点为的中点，点为的中点.
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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