1 . 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 在平行六面体中，，．

(1)若空间有一点满足：，求；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值．

3 . 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.

(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.

4 . 如图，三棱柱所有棱长都为2，，D为与交点．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值．

6 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为5，求BQ的长．

7 . 设椭圆的左焦点，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围．

8 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于
(1)过右焦点作于，求；
(2)求证：.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，.
（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积.

10 . 已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．