1 . 数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（       ）

A．

B．曲线经过点

C．当点在曲线上时，

D．当点在曲线上时，

2 . 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．

3 . 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．
(1)若，求；
(2)若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
(3)若，证明：对于任意的，均存在，使得．

4 . 设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知
(1)比较， x的大小， 并证明;
(2)求证：

6 . 函数在R上是单调递增的充分条件是：（       ）

A．	B．
C．	D．

7 . 已知，定义运算：，其中是函数的导数．若存在极大值点，且，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用曲率表示曲线的弯曲程度.设函数的导函数为的导函数记为，则函数的图象在的曲率.
(1)求椭圆在处的曲率；
(2)证明：函数图象的曲率的极大值点位于区间.

9 . 观察下面跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

10 . 观察图象，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系．