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1 . 已知函数,.
(1)若直线是曲线在处的切线,求的表达式;
(2)若任意且,有恒成立,求符合要求的数对组成的集合;
(3)当时,方程在区间上恰有1个解,求k的取值范围.
(1)若直线是曲线在处的切线,求的表达式;
(2)若任意且,有恒成立,求符合要求的数对组成的集合;
(3)当时,方程在区间上恰有1个解,求k的取值范围.
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解题方法
2 . 已知为实数集的非空子集,若存在函数且满足如下条件:①定义域为时,值域为;②对任意,,均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应;
(2)求证:整数集到有理数集之间不存在完美对应;
(3)若,,且是某区间到区间的一个完美对应,求的取值范围.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应;
(2)求证:整数集到有理数集之间不存在完美对应;
(3)若,,且是某区间到区间的一个完美对应,求的取值范围.
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解题方法
3 . 设一个简单几何体的表面积为,体积为,定义系数,已知球体对应的系数为,定义为一个几何体的“球形比例系数”.
(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”;
(2)求圆柱体的“球形比例系数”范围;
(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体?若存在,请描述该几何体的基本特征;若不存在,说明理由.
(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”;
(2)求圆柱体的“球形比例系数”范围;
(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体?若存在,请描述该几何体的基本特征;若不存在,说明理由.
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4 . 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点(其中,),则称l为曲线C的“”.
(1)若曲线在点处的切线为,另一个公共点的坐标为,求的值;
(2)求曲线所有的方程;
(3)设,是否存在,使得曲线在点处的切线为?若存在,探究满足条件的t的个数,若不存在,说明理由.
(1)若曲线在点处的切线为,另一个公共点的坐标为,求的值;
(2)求曲线所有的方程;
(3)设,是否存在,使得曲线在点处的切线为?若存在,探究满足条件的t的个数,若不存在,说明理由.
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解题方法
5 . 设定义域为的函数在上可导,导函数为.若区间及实数满足:对任意成立,则称函数为上的“函数”.
(1)判断是否为上的函数,说明理由;
(2)若实数满足:为上的函数,求的取值范围;
(3)已知函数存在最大值.对于::对任意与恒成立,:对任意正整数都是上的函数,问:是否为的充分条件?是否为的必要条件?证明你的结论.
(1)判断是否为上的函数,说明理由;
(2)若实数满足:为上的函数,求的取值范围;
(3)已知函数存在最大值.对于::对任意与恒成立,:对任意正整数都是上的函数,问:是否为的充分条件?是否为的必要条件?证明你的结论.
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真题
6 . 对于一个函数和一个点,令,若是取到最小值的点,则称是在的“最近点”.
(1)对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”;
(2)对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数,且函数 在定义域R上恒正,设点,.若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
(1)对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”;
(2)对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数,且函数 在定义域R上恒正,设点,.若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
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7 . 设函数定义域为.若整数满足,则称与“相关”于.
(1)设,,写出所有与“相关”于的整数;
(2)设满足:任取不同的整数,与均“相关”于.求证:存在整数,使得都与“相关”于;
(3)是否存在实数,使得函数,满足:存在,能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集?若这样的存在,指出和的大小关系(无需证明),并求出的取值范围;若这样的不存在,说明理由.
(1)设,,写出所有与“相关”于的整数;
(2)设满足:任取不同的整数,与均“相关”于.求证:存在整数,使得都与“相关”于;
(3)是否存在实数,使得函数,满足:存在,能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集?若这样的存在,指出和的大小关系(无需证明),并求出的取值范围;若这样的不存在,说明理由.
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解题方法
8 . 函数、的定义域均为,若对任意两个不同的实数,,均有或成立,则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
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2024-05-23更新
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541次组卷
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3卷引用:上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷
9 . 已知定义域为的函数,其图象是连续的曲线,且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)已知,当与满足什么条件时,存在非零实数,对任意的实数使得恒成立?
(3)若函数是奇函数,且满足.试判断对任意的实数是否恒成立,请说明理由.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)已知,当与满足什么条件时,存在非零实数,对任意的实数使得恒成立?
(3)若函数是奇函数,且满足.试判断对任意的实数是否恒成立,请说明理由.
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10 . 已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列().
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
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