名校
解题方法
1 . 对于问题“求证方程
只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为
，设
，因为
在
上单调递减，且
，所以原方程只有一个解
”.类比上述解题思路，则不等式
的解集是（ ）
只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-08-07更新
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977次组卷
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7卷引用：湘豫名校联考2023届高三上学期8月入学摸底考试文科数学试题
2 . 如果
和
除以
所得余数相同，则称
对模
同余，记作
，
若集合
，集合
，现从集合
中的
个数中可以抽出
个数，
（
）且
，使这个数平均分为
组，若存在一组数对
(三者不相等）且满足
恰好能被
整除，
对模
同余，则
为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断
为“灵魂莲华集合”
(2)若
，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数
，若
构成公差为8的等差数列，求证：无论
且
为任何集合，最多有一对满足条件的
为灵魂莲华数对．
和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，若集合
，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，（
）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”(1)判断
为“灵魂莲华集合”(2)若
，判断有多少组数对为灵魂莲华数对(3)现从素数集合
中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．
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3 . 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，
于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E.
是⊙O的切线；
(2)求证：
；
(3)若
求
的值.
于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E.
是⊙O的切线；(2)求证：
；(3)若
求的值.
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4 . “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设
，圆
的外切和内接正
边形的周长分别为
和
，其中
.
(1)若的半径为1，求的外切正
边形的面积；
(2)证明：
；
(3)设
，证明：
.
，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.(1)若
的半径为1，求的外切正边形的面积；(2)证明：
；(3)设
，证明：.
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5 . 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数
除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.
设正整数有个正约数，即为
.
(1)当
时，是否存在
构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数；
(3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么
，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数
有个正约数，即为.(1)当
时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；(2)当
时，若构成等比数列，求正整数；(3)当
时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
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23-24高三上·重庆·开学考试
名校
6 . 设函数
，
，
，且有唯一零点.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：
存在三个零点；
(3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：
，其中e是自然对数的底数.
，，，且有唯一零点.(1)求a的取值范围；
(2)证明：
存在三个零点；(3)记
的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数.
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7 . 如图所示，在等腰梯形
中，
，对角线
与
交于
，点
分别是
的中点.求证：
是等边三角形.
中，，对角线与交于，点分别是的中点.求证：是等边三角形.
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名校
8 . 如图，已知
是
的直径，弦与直径相交于点
.点
在外，作直线
，且
.
(1)求证：直线是的切线.
(2)若
，
，
，求
的长.
是的直径，弦与直径相交于点.点在外，作直线，且.(1)求证：直线
是的切线.(2)若
，，，求的长.
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9 . 如图，AD是⊙O的直径，P是OD上的任意一点，过P作弦BC⊥AD，连AB、AC、BD，BO的延长线交AC于E，弦
，OH⊥DF于H．
(1)求证：
①
，
②
；
(2)若⊙O的半径为3，当
时，求△AOE的面积．
，OH⊥DF于H．(1)求证：
①
，②
；(2)若⊙O的半径为3，当
时，求△AOE的面积．
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名校
10 . 湘潭是伟人故里， 生态宜居之城， 市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度， 随机抽取了 120 位市民进行调查， 其结果如下: 回答 “满意” 的 “工薪族”人数是 40 人， 回答 “不满意” 的“工薪族”人数是 30 人， 回答“满意”的“非工薪族”人数是 40 人， 回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是 10 人．
(1)请根据以上数据填写下面
列联表， 并依据 
的独立性检验， 分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?
(2)用上述调查所得到的满意度频率估计概率， 机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定: 抽样的次数不超过
， 若随机抽取的市民属于不满意群体， 则抽样结束; 若随机抽取的市民属于满意群体， 则继续抽样， 直到抽到不满意市民或抽样次数达到
时，抽样结束.记此时抽样次数为 
．
(i) 若
， 求 
的分布列和数学期望;
(ii) 请写出 的数学期望的表达式 （不需证明）， 根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．
附:
参考公式: 
， 其中 
．
(1)请根据以上数据填写下面
列联表， 并依据 的独立性检验， 分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?满意 | 不满意 | 合计 | |
工薪族 | |||
非工薪族 | |||
合计 |
， 若随机抽取的市民属于不满意群体， 则抽样结束; 若随机抽取的市民属于满意群体， 则继续抽样， 直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.记此时抽样次数为 ．(i) 若
， 求 的分布列和数学期望;(ii) 请写出
的数学期望的表达式 （不需证明）， 根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．附:
| 0．050 | 0．010 | 0．005 |
| 3．841 | 6．635 | 7．879 |
， 其中 ．
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2022-08-30更新
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254次组卷
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3卷引用：湖南省湘潭市2022-2023学年高三上学期入学摸底考试数学试题
