1 . 学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.

2 . 记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.

3 . 为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求：
(1)若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
(2)若第一次由甲组答题，记第次由甲组答题的概率为，求.

4 . 已知数列的前项和，数列满足 ，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．

5 . 已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

7 . 已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．

8 . 已知是数列的前项和，．且
(1)求的通项公式；
(2)设，已知数列满足，求的前项的和

9 . 在数列中，，，其前项和满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，如果对任意的有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，，求证：数列是等差数列.

10 . 已知数列{}满足，且（）．设．
(1)证明：数列{}为等比数列，并求出{}的通项公式；
(2)求数列{}的前2n项和．