1 . 已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)求证:的充要条件是.

2 . 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为______.

3 . 若有穷数列，是正整数），满足，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项；
(2)对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前19项的和

4 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
(1)若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为、，求是数列时所满足的条件，并证明命题“若是数列，则总有”.

5 . 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（       ）
①可能为等差数列；
②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，总存在，使得．

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

6 . 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.

7 . 已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（       ）个

A．3

B．2

C．1

D．0

8 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，判断数列是否具有性质并证明；
(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.

9 . 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则__________.

10 . 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为_________.