1 . 如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．

(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．

2 . 已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值；
(2)已知是上不同的三点，直线与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为，若直线的倾斜角为，求点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.

4 . 如图，过点的动直线交抛物线于两点.

(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.

5 . 已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．
(1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
(2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．

6 . 已知，点分别是抛物线的焦点与曲线上一动点，点在抛物线上方，且的周长最小值为．

   

(1)求抛物线的方程；
(2)点是抛物线上的动点，点是点处抛物线切线的交点，若的面积等于32，线段为圆的直径，求的取值范围．

7 . 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（       ）
   

A．	B．以为直径的圆与直线相切
C．	D．

8 . 已知抛物线，，过焦点的直线交抛物线于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段交轴于，两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．
(3)若直线交抛物线于C，D两点，为弦的中点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由．

9 . 已知抛物线为抛物线上两点，处的切线交于点，过点作抛物线的割线交抛物线于两点，为的中点.
(1)若点在抛物线的准线上，
（i）求直线的方程（用含的式子表示）；
（ii）求面积的取值范围.
(2)若直线交抛物线于另一点，试判断并证明直线与的位置关系.

10 . 已知曲线．

(1)若点是上的任意一点，直线，判断直线与的位置关系并证明．
(2)若是直线上的动点，直线与相切于点，直线与相切于点．

①试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

②若直线与轴分别交于点，证明：．