1 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，.

(1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值；
(2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值；
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.

2 . 学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右. 某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分. 假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为_________________.

3 . 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.

花费时间（分钟）
时间等级	一级	二级	三级

(1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数；
(2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数；
(3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率.

4 . 已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为_________.

5 . 给出下列4个命题：
①若事件和事件互斥，则；
②数据的第百分位数为10；
③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；
④随机变量的分布为，则其数学期望.
其中正确命题的序号为（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

6 . 某工厂为确定2024年A产品的生产总产量，调取了2020年至2023年近四年的A产品生产总产量万件与其所需总成本万元之间的对应关系（如下表所示），以作为建立与之间函数关系的依据，进而实现估算预测．工厂称此函数为“参照函数”．

A产品生产总产量x（万件）	1	2	3	4
总成本y（万元）	12	17	25	32

该工厂拟用如下三个函数解析式：①；②；③作为“参照函数”的备选．
(1)该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理？请说明理由：
(2)根据（1）所选的“参照函数”，当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时，其单位成本（即总成本除以总产量）最低？并求出此最低单位成本．

7 . 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（       ）

A．

B．2，3

C．

D．

8 . 2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．
(1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
(2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？

9 . 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．

10 . 去年8月，上海发放了“爱购上海”为主题的“消费满100元抵50元”的电子消费券．A商家是“爱购上海”的活动商户，同时举行促销活动，每件商品按原价6折销售，但折扣不能与“爱购上海”消费券同时使用．如果你在这个商家购买商品原价的范围在（100，150）元．若使用消费券更便宜，则原价范围为______．