1 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

   

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.

2 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.

3 . 凸多面体的顶点数V，面数F，棱数E之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故；凸多面体的欧拉公式：等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．
(1)若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
(3)试求正多面体的个数，并证明；
(4)若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．

4 . “角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（       ）

A．可看作一个定义域和值域均为的函数

B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C．对任意正整数，都有

D．是真命题，是假命题

5 . 上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米.
          
(1)求证：；
(2)试分别以正三棱柱和几何体为模型估算大厦主楼的体积.

6 . 我国明朝科学家徐光启在他的《几何原本》中，首创使用几何方法研究代数问题，后来这一方法“几何代数法”成了西方数学家处理问题的重要依据．运用这个方法，很多代数公式、定理都能够通过图形实现证明，数学上称之为“无字证明”．设，，称为a，b的调和平均数；为a，b的几何平均数；为a，b的算术平均数；为a，b的平方平均数．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，点D在半圆O上，且，于点E，过点O作AB的垂线，交半圆于F，连结CF，设，．
   
(1)求线段DE与CF长度；
(2)证明：．

7 . 2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．
   
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．

8 . 我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为______．（写出一个即可）

   

9 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆．
(1)求该椭圆的方程．
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，直线与椭圆的蒙日圆相交于点，求证：为定值．

10 . 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式；
(2)在中，，，求面积的最大值.