名校
1 . 利用反证法,是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略,请利用它证明我们初中所学的真命题
(1)求证:是无理数
(2)①求证:三角形的内角和为180°
②求证:三角形至少有一个内角大于等于60°
(1)求证:是无理数
(2)①求证:三角形的内角和为180°
②求证:三角形至少有一个内角大于等于60°
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2 . 已知
(1)比较, x的大小, 并证明;
(2)求证:
(1)比较, x的大小, 并证明;
(2)求证:
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名校
3 . 已知
(1)将,,,按由小到大排列,并证明;
(2)令 求证: 在内无零点.
(1)将,,,按由小到大排列,并证明;
(2)令 求证: 在内无零点.
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2024-08-20更新
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388次组卷
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3卷引用:内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题
解题方法
4 . 欧拉是伟大的数学家,也是最多产的数学家,他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年,欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出,任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上(这条直线被称为三角形的欧拉线),此外,外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论,我们作以下探究:
如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:.
注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1;
②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直;
③外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:.
注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1;
②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直;
③外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
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5 . (1)求证:;
(2)利用第(1)问的结果证明;
(3)其实我们常借助构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组给等式,譬如:,由左边可求得的系数为,利用右式可得的系数为,所以.请利用此方法证明:.
(2)利用第(1)问的结果证明;
(3)其实我们常借助构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组给等式,譬如:,由左边可求得的系数为,利用右式可得的系数为,所以.请利用此方法证明:.
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6 . 设自然数,由个不同正整数构成集合,若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合,记为集合元素的个数
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
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名校
7 . 设函数定义域为.若整数满足,则称与“相关”于.
(1)设,,写出所有与“相关”于的整数;
(2)设满足:任取不同的整数,与均“相关”于.求证:存在整数,使得都与“相关”于;
(3)是否存在实数,使得函数,满足:存在,能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集?若这样的存在,指出和的大小关系(无需证明),并求出的取值范围;若这样的不存在,说明理由.
(1)设,,写出所有与“相关”于的整数;
(2)设满足:任取不同的整数,与均“相关”于.求证:存在整数,使得都与“相关”于;
(3)是否存在实数,使得函数,满足:存在,能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集?若这样的存在,指出和的大小关系(无需证明),并求出的取值范围;若这样的不存在,说明理由.
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解题方法
8 . 已知函数 .
(1)用单调性定义证明:在上单调递增;
(2)若函数有3个零点,满足,且 .
①求证: ;
②求的值(表示不超过的最大整数).
(1)用单调性定义证明:在上单调递增;
(2)若函数有3个零点,满足,且 .
①求证: ;
②求的值(表示不超过的最大整数).
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9 . 如图所示,四边形为梯形,,,,以为一条边作矩形,且,平面平面.
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论:如果两个平面所成的二面角为,其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为,它们的面积分别记为和,则.乙同学利用甲的这个结论,发现在线段上存在点,使得.请你对乙同学发现的结论进行证明.
(1)求证:;
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论:如果两个平面所成的二面角为,其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为,它们的面积分别记为和,则.乙同学利用甲的这个结论,发现在线段上存在点,使得.请你对乙同学发现的结论进行证明.
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2024-04-17更新
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396次组卷
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3卷引用:湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题
10 . 已知:平面内的动点P到定点为和定直线距离之比为,
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C的交点为M,N,点,
当满足 a 时,求证: b .
①;
②;
③直线过定点,并求定点的坐标.
④直线的斜率是定值,并求出定值.
请在①②里选择一个填在a处,在③④里选择一个填在b处,构成一个真命题,在答题卡上陈述你的命题,并证明你的命题
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C的交点为M,N,点,
当满足 a 时,求证: b .
①;
②;
③直线过定点,并求定点的坐标.
④直线的斜率是定值,并求出定值.
请在①②里选择一个填在a处,在③④里选择一个填在b处,构成一个真命题,在答题卡上陈述你的命题,并证明你的命题
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