1 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作.当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
(1)分别根据下列已知条件求；
①；②；
(2)若向量，求证：
(3)记，且满足，，，求的最大值.

2 . 已知函数
(1)当，求函数的极值;
(2)若，是方程的两个不同实根，证明：.

3 . 设，已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.

4 . 已知椭圆：的一个焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程与离心率；
（2）设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．

5 . 已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .