解题方法
1 . 已知P为双曲线C:上一点,O为坐标原点,线段OP的垂直平分线与双曲线C相切.
(1)若点P是直线与圆的交点,求a;
(2)求的取值范围.
(1)若点P是直线与圆的交点,求a;
(2)求的取值范围.
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2 . 已知 为抛物线 的焦点, 过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点, 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 , 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点, 过点 作抛物线 的切线, 分别与线段 交于 .
(i)若 ,求 的值;
(ii)证明:
(1)设 是抛物线 上一点, 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 , 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点, 过点 作抛物线 的切线, 分别与线段 交于 .
(i)若 ,求 的值;
(ii)证明:
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3 . 信息熵描述了一个事情的不确定度,或者说我知道某个信息所减少的不确定度.此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少,熵的概念在信息学和通信领域用处颇多,若有一系列基本事件,以作为随机变量,则这些事件可以分别认为是,.则对于这些基本事件的总体的熵,我们用公式计算.
(1)求抛一面质地均匀的六面骰子的熵
(2)假设一枚硬币,其抛出正面的概率是,请计算当取值为何时其熵最大
(3)在上一问中,假设.若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串(如“0”、“11011”、“1010110”传递给,并满足以下条件:
·A和B事先商量好个对应法则
·A连续3次抛掷该硬币,将这三次的正反面通过对应法则编码成,将发送给B
·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1,2,3次时的正反面
·的长度的期望尽量小.
例如,可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果,如表:
从而显然无论如何.都有成立.从而
请设计一种方案,使得:
(a);
(b);
并证明.(你不需要分别给出方案,的方案自动满足
(1)求抛一面质地均匀的六面骰子的熵
(2)假设一枚硬币,其抛出正面的概率是,请计算当取值为何时其熵最大
(3)在上一问中,假设.若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串(如“0”、“11011”、“1010110”传递给,并满足以下条件:
·A和B事先商量好个对应法则
·A连续3次抛掷该硬币,将这三次的正反面通过对应法则编码成,将发送给B
·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1,2,3次时的正反面
·的长度的期望尽量小.
例如,可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果,如表:
正正正 | 111 |
正正反 | 110 |
正反正 | 101 |
反正正 | 011 |
正反反 | 100 |
反正反 | 010 |
反反正 | 001 |
反反反 | 000 |
请设计一种方案,使得:
(a);
(b);
并证明.(你不需要分别给出方案,的方案自动满足
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解题方法
4 . 已知有穷数列的通项公式为,将数列中各项重新排列构成新数列,则称数列是的“重排数列”;若数列各项均满足,则称数列是的“完全重排数列”,记项数为的数列的“完全重排数列”的个数为.
(1)计算,,;
(2)写出和,之间的递推关系,并证明:数列是等比数列;
(3)若从数列及其所有“重排数列”中随机选取一个数列,记数列是的“完全重排数列”的概率为,证明:当无穷大时,趋近于.(参考公式:)
(1)计算,,;
(2)写出和,之间的递推关系,并证明:数列是等比数列;
(3)若从数列及其所有“重排数列”中随机选取一个数列,记数列是的“完全重排数列”的概率为,证明:当无穷大时,趋近于.(参考公式:)
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2024-07-26更新
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781次组卷
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4卷引用:模型6 概率与数列结合问题模型(第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 )
(已下线)模型6 概率与数列结合问题模型(第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 )(已下线)第二章 概率 专题二 古典概型 微点3 古典概型综合训练【培优版】广东省广州市2025届普通高中毕业班摸底考试数学试题福建省厦门双十中学2024届高三第一次模拟考试数学试题
5 . 在平面直角坐标系中,点到点的距离与到直线的距离之比为,记的轨迹为曲线,直线交右支于,两点,直线交右支于,两点,.
(1)求的标准方程;
(2)证明:;
(3)若直线过点,直线过点,记,的中点分别为,,过点作两条渐近线的垂线,垂足分别为,,求四边形面积的取值范围.
(1)求的标准方程;
(2)证明:;
(3)若直线过点,直线过点,记,的中点分别为,,过点作两条渐近线的垂线,垂足分别为,,求四边形面积的取值范围.
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2024-07-26更新
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753次组卷
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3卷引用:重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题(八大题型)
2025高三·全国·专题练习
6 . 对给定的正整数,令,对任意的,,定义与的距离.设是的含有至少两个元素的子集,集合中的最小值称为的特征,记作.
(1)当时,直接写出下述集合的特征:;
(2)当时,设且,求中元素个数的最大值;
(3)当时,设且,求证:中的元素个数小于.
(1)当时,直接写出下述集合的特征:;
(2)当时,设且,求中元素个数的最大值;
(3)当时,设且,求证:中的元素个数小于.
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7 . 群论,是代数学的分支学科,在抽象代数中.有重要地位,且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响,例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下:设是一个非空集合,“.”是上的一个代数运算,如果该运算满足以下条件:
①对任意的,有;
②对任意的,有;
③存在,使得对任意的,有称为单位元;
④对任意的,存在,使,称与互为逆元.
则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有( )
①对任意的,有;
②对任意的,有;
③存在,使得对任意的,有称为单位元;
④对任意的,存在,使,称与互为逆元.
则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有( )
A.关于数的乘法构成群 |
B.自然数集关于数的加法构成群 |
C.实数集关于数的乘法构成群 |
D.关于数的加法构成群 |
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8 . 有一个摸球游戏,在一个口袋中装有个红球和个白球,这些球除颜色外完全相同,每次从中摸一个球,记录摸出球的颜色,然后再将球放回口袋中.
(1)若、,重复上述摸球试验5次,用X表示5次中摸出红球的次数,求X的分布列及方差;
(2)若,.
①当甲在游戏的过程中,又来了乙和丙,他们一起玩摸球游戏,第一次由甲摸球,若甲摸到红球,则下一次甲继续摸球,否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球,被指定的人如果摸到红球,则下一次还是他自己继续摸球,否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球,如此进行下去,记为第n次是甲摸球的概率,求;
②第二天,甲独自一人继续摸球游戏,每次从袋中摸一个球,记录摸出球的颜色,然后将球放回口袋中,当第2次摸到红球时停止游戏,否则游戏一直继续进行下去,以随机变量Y表示所需摸球的次数,这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布.帕斯卡分布的定义如下:在重复、独立的伯努利试验中,若每次试验成功的概率为,失败的概率为,若将试验进行到恰好出现r(r为常数)次成功时结束试验,以随机变量Y表示所需试验的次数,则Y是一个离散型随机变量,称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布,记作.帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布,常用于描述生物群聚性,医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布.根据定义,我们能够得到这里的,,.求.
(1)若、,重复上述摸球试验5次,用X表示5次中摸出红球的次数,求X的分布列及方差;
(2)若,.
①当甲在游戏的过程中,又来了乙和丙,他们一起玩摸球游戏,第一次由甲摸球,若甲摸到红球,则下一次甲继续摸球,否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球,被指定的人如果摸到红球,则下一次还是他自己继续摸球,否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球,如此进行下去,记为第n次是甲摸球的概率,求;
②第二天,甲独自一人继续摸球游戏,每次从袋中摸一个球,记录摸出球的颜色,然后将球放回口袋中,当第2次摸到红球时停止游戏,否则游戏一直继续进行下去,以随机变量Y表示所需摸球的次数,这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布.帕斯卡分布的定义如下:在重复、独立的伯努利试验中,若每次试验成功的概率为,失败的概率为,若将试验进行到恰好出现r(r为常数)次成功时结束试验,以随机变量Y表示所需试验的次数,则Y是一个离散型随机变量,称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布,记作.帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布,常用于描述生物群聚性,医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布.根据定义,我们能够得到这里的,,.求.
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2024高一上·江苏·专题练习
9 . 设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,在此基础上给出下列四个向量集合:①;②;③;④.其中平面向量的集合为“点射域”的序号是______ .
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2024高二上·全国·专题练习
10 . 已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,,则叫做向量,的夹角,记作.定义与的“向量积”为:是一个向量,它与向量,都垂直,它的模.如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,,为上一点,.(1)求的长;
(2)若为的中点,求二面角的余弦值;
(3)若为上一点,且满足,求.
(2)若为的中点,求二面角的余弦值;
(3)若为上一点,且满足,求.
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