1 . 已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.

2 . 已知，.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:且.

3 . 若数列满足，且存在常数，使得对任意的都有，则称数列为“k控数列”．
（1）若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；
（2）已知公比为的等比数列的前n项和为，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．

4 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.

5 . 已知函数．
（1）求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）证明：；
（3）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有．

6 . 已知矩形中，，当每个取遍时，的最小值是_____，最大值是_______．

7 . 已知数列的前项和为，且满足，则下列结论中
①数列是等差数列；②；③

A．仅有①②正确

B．仅有①③正确

C．仅有②③正确

D．①②③均正确

8 . 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，且，证明.

9 . 已知曲线（为常数）.
（i）给出下列结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线为轴对称图形；
③当时，若点在曲线上，则或.
其中，所有正确结论的序号是_________.
（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可）

10 . 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.
（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.