1 . 现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具，，中的一个，每袋零食乙从玩具，中随机附赠一个.记事件：一次性购买袋零食甲后集齐玩具，，；事件：一次性购买袋零食乙后集齐玩具，.
（1）求概率，及；
（2）已知，其中，为常数，求.

2 . 某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．
（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．

3 . 在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：
① ；
②存在最大值；
③ ．
则正确结论的序号为_______.

4 . 若无穷数列满足：存在，对任意的，都有（为常数），则称具有性质
（1）若无穷数列具有性质，且，求的值
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由.
（3）设无穷数列既具有性质，又具有性质，其中互质，求证：数列具有性质

5 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

6 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n.
（1）求P₁，P₂；
（2）若P_n≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.

7 . 设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

8 . 已知函数，，其中常数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且，求证：.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆的右焦点，是椭圆上位于轴上方的任意一点，过作垂直于的直线交其右准线于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若，求证：直线与椭圆相切；
（3）在椭圆上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由.

10 . 给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.
（1）设数列为2，1，6，3，写出，，的值；
（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；
（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.